Determinant Hesaplama

Determinant hesaplama, 5×5 boyutuna kadar olan matrisler için determinantları bulma sürecini basitleştirir. Matrisin boyutunu seçin ve her adıma yönelik hesaplamalarla determinant matrislerini değerlendirmek için gerçek veya karmaşık sayıları koyun.

Determinant Nedir?

Kare matrisin elemanlarından elde edilen skaler bir değerdir. Doğrusal dönüşümün belirli özelliklerine sahiptir ve matris tarafından gösterilen doğrusal dönüşümün ne kadar uzandığını ölçer. Bir matrisin determinantının pozitif veya negatif olması, doğrusal dönüşümün bir vektör uzayının yönünü koruyup korumamasına veya tersine çevirmesine bağlıdır. det (A), det A veya |A| olarak gösterilir.

Bir Matrisin Determinantı Nasıl Hesaplanır?

Matrislerin determinantı farklı yöntemlerle hesaplanabilir ancak determinant hesaplama, 2x2, 3x3, 4x4 veya daha yüksek dereceli kare matrisin determinantını hesaplar. Hesap makinesi, matris hesaplamalarının karmaşıklığını ortadan kaldırarak her boyuttaki matrisin determinantlarını bulmayı basit ve kolay hale getirir. Basit bir şekilde manuel olarak, ana köşegen elemanları çarpılarak ve matrisi satır basamak formuna indirgeyerek hesaplanır. Burada, farklı yöntemlerden determinantı bulmak için farklı matris sırası için ayrıntılı formüller veriyoruz:

2x2 Matris Çarpımları için:

Hesaplamalar için hangi yöntemi seçerseniz seçin, A = (aij)2×2 matrisinin determinantı aşağıdaki formülle belirlenir:

\(det A = \begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix} \\\)

\(det⁡ A = ad-bc \)

Örnek:

2x2 matris A'nın determinantını bulun

\(det A = \begin{vmatrix} 4&12 \\ 2&7 \end{vmatrix} \\ \)

Çözüm:

\(|A| = (7)(4) – (2)(12)\)

\(|A| = 28 – 24\)

\(|A| = 4\)

3x3 Matris Çarpımları için:

A = (aij)3×3 matrisinin hesaplamaları için sütun açılımından aşağıdaki formülle belirlenir:

\(det A = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f \\g & h & i \end{vmatrix} \\ \)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix} e & f \\h & i\end{vmatrix}  - d\begin{vmatrix}b & c \\h & i\end{vmatrix}+g\begin{vmatrix}b & c \\e & f\end {vmatrix} \)

Örnek:

\(det A = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3\\1 & 4 & 1 \\0 & 4 & 7 \end{vmatrix} \\ \)

Çözüm:

\(det⁡ A= 2\begin{vmatrix} 4 & 1 \\4 & 7\end{vmatrix}  - 1\begin{vmatrix}0 & 3 \\4 & 7\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}0 & 3 \\4 & 1\end {vmatrix} \)

\( det⁡ A = 2[(7)(4)-(4)(1)]-1[(4)(3)-(7)(0)]+ 0[(4)(3)-( 1)(0)] \)

\( det⁡ A = 2[28-4]-1[12-0]+ 0[12-0] \)

\( det⁡ A = 2[24]-1[12]+ 0[12] \)

\( det⁡ A = 48-12+ 0 \)

\( det⁡ A = 36 \)

4x4 Matris Çarpımları için:

A = (aij)4×4 matris determinant hesaplama için sütun açılımından aşağıdaki formülle belirlenir:

\( det A = \begin{vmatrix} a & b & c & d\\e & f & g &h \\i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{vmatrix} \\ \)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix} f & g  & h\\j & k & l\\n & o & p\end{vmatrix}  - e\begin{vmatrix}b & c & d\\j & k & l\\ n & o & p \end{vmatrix}+i\begin{vmatrix}b & c & d \\f & g & h\\n & o & p\end{vmatrix}-m\begin{vmatrix}b & c & d\\ f & g & h\\j & k & l\end {vmatrix}\)

Daha sonra yukarıdaki 3x3 formülünü kullanarak 3x3'ün determinantını belirleyin.

Örnek:

\(det A = \begin{vmatrix} 1 & 8 & 7 & 2\\2 & 4 & 3 &8 \\1 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 9 & 6 \end{vmatrix} \\ \)

Çözüm:

\(det⁡ A= 1\begin{vmatrix}4 & 3  & 8\\4 & 3 & 2\\4 & 9 & 6\end{vmatrix}  - 2\begin{vmatrix}8 & 7 & 2\\ 4 & 3 & 2\\ 4 & 9 & 6\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}8 & 7 & 2 \\4 & 3 & 8\\4 & 9 & 6\end{vmatrix}-1 \begin{vmatrix}8 & 7 & 2\\4 & 3 & 8\\4 & 3 & 2\end {vmatrix}\)

\(det⁡ A=1( 4\begin{vmatrix} 3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix}  - 3\begin{vmatrix}4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end {vmatrix}) -2( 8\begin{vmatrix} 3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix}  - 7\begin{vmatrix}4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end {vmatrix}) +1( 8\begin{vmatrix}3 & 8 \\9 & 6\end{vmatrix}  - 7\begin{vmatrix}4 & 8 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin {vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) -1( 8\begin{vmatrix} 3 & 8 \\3 & 2\end{vmatrix}  - 7\begin{vmatrix}4 & 8 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 3\end {vmatrix})\)

\(det⁡ A = 1[4(18-18)-3(24-8)+ 8(36-12)]-2[ 8(18-18)-7(24-8)+ 2(36- 12)]+ 1[ 8(18-72)-7(24-32)+2(36-12)] -1[8(6-24)-7(8-32)+ 2(12-12) ]\)

\(det⁡ A = 1[4(0)-3(16)+ 8(24)]-2[ 8(0)-7(16)+ 2(24)]+ 1[ 8(-54)- 7(-8)+ 2(24)]-1[8(-18)-7(-24)+ 2(0)]\)

\(det⁡ A = 1[0-48+192]-2[0-112+48]+ 1[ -432+56+48]-1[-144+168+0]\)

\(det⁡ A = 1[144]-2[-64]+ 1[-328]-1[24]\)

\(det⁡ A = 144+128-328- 24\)

\(det⁡ A = -80\)

5x5 Matris Çarpımları için:

A = (aij)5×5 matrisinin hesaplamaları için sütun açılımından aşağıdaki formülle belirlenir:

\(det A = \begin{vmatrix} a & b & c & d & e\\f & g & h & i & j\\k & l & m & n & o \\ p & q & r & s & t \\ u & v & w & x & y \end{vmatrix} \\ \)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix} g & h & i & j\\l & m & n & o\\q & r & s & t\\v & w & x & y\end{vmatrix} - f\begin{vmatrix}b & c & d & e\\l & m & n & o\\ q & r & s & t\\ v & w & x & y\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}b & c & d & e \\ g & h & i & j\\q & r & s & t\\v & w & x & y\end{vmatrix}-p\begin{vmatrix}b & c & d & e\\g & h & i & j\\l & m & n & o\\q & r & s & t\end {vmatrix}\\ \)

Other languages: Determinant Calculator, Kalkulator Wyznacznika Macierzy, Kalkulator Penentu Matriks, Determinanten Rechner, 行列式 計算, 행렬식 계산기, Determinant Kalkulačka, Calculadora De Determinantes, Calcul Déterminant Matrice, Calculadora De Determinantes, Calcolo Determinante, Калькулятор Определителя, حساب محدد, Determinantti laskin, Determinantberegner.