Determinantti laskin

Determinanttilaskin yksinkertaistaa determinanttien etsimistä matriiseille, joiden koko on 5×5. Valitse matriisin koko ja laita joko reaali- tai kompleksiluvut arvioimaan niiden determinanttimatriisi kunkin vaiheen laskelmilla.

Mikä on Determinantti?

Se on skalaariarvot, jotka saadaan neliömatriisin elementeistä. Sillä on tiettyjä lineaarimuunnoksen ominaisuuksia ja se mittaa kuinka paljon matriisin osoittama lineaarimuunnos venyy.

Matriisin determinantti on positiivinen vai negatiivinen riippuu siitä, säilyttääkö lineaarinen muunnos vektoriavaruuden orientaation vai kääntääkö se päinvastaiseksi. Sitä merkitään det (A), det A tai |A|.

Kuinka laskea matriisin determinantti?

Matriisien determinantti voidaan laskea eri menetelmillä, mutta determinanttilaskin laskee 2×2, 3×3, 4×4 tai korkeamman kertaluvun neliömatriisin determinantin.

Laskin poistaa matriisilaskelmien monimutkaisuuden, jolloin determinanttien löytäminen kaikenkokoisille matriiseille on helppoa ja helppoa. Yksinkertaisesti käsin se lasketaan kertomalla sen tärkeimmät diagonaaliset jäsenet ja pelkistämällä matriisi rivitason muotoon.

Tässä annamme yksityiskohtaiset kaavat matriisin eri järjestyksille determinantin löytämiseksi eri menetelmistä:

2×2-matriisikertouksille:

Riippumatta siitä, minkä menetelmän valitsit laskelmiin, matriisin A = (aij)2×2 determinantti määritetään seuraavalla kaavalla:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A = ad-bc \)

Esimerkki:
Etsi 2×2 matriisin A determinantti

\(
det A =
\begin{vmatrix}
4 & 12 \\
2 & 7
\end{vmatrix} \\
\)

Ratkaisu:

\(|A| = (7) (4) – (2) (12)\)
\(|A| = 28 – 24\)
\(|A| = 4\)

3×3-matriisikertouksille:

Matriisin A laskemista varten = (aij)3×3 kolonnin laajennuksesta määritetään seuraavalla kaavalla:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c\\d & e & f \\g & h & i
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix}
e & f \\h & i\end{vmatrix}  – d\begin{vmatrix}b & c \\h & i\end{vmatrix}+g\begin{vmatrix}b & c \\e & f\end {vmatrix} \)

Esimerkki:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
2 & 0 & 3\\1 & 4 & 1 \\0 & 4 & 7
\end{vmatrix} \\
\)?

Ratkaisu:

\(det⁡ A= 2\begin{vmatrix}
4 & 1 \\4 & 7\end{vmatrix}  – 1\begin{vmatrix}0 & 3 \\4 & 7\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}0 & 3 \\4 & 1\end {vmatrix} \)

\( det⁡ A = 2[(7)(4)-(4)(1)]-1[(4)(3)-(7)(0)]+ 0[(4)(3)-( 1)(0)] \)

\( det⁡ A = 2[28-4]-1[12-0]+ 0[12-0] \)

\( det⁡ A = 2[24]-1[12]+ 0[12] \)

\( det⁡ A = 48-12+ 0 \)

\( det⁡ A = 36 \)

4×4-matriisikertouksille:

Matriisin A laskemista varten = (aij)4×4 kolonnin laajennuksesta määritetään seuraavalla kaavalla:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c & d\\e & f & g &h \\i & j & k & l \\ m & n & o & p
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix}
f & g  & h\\j & k & l\\n & o & p\end{vmatrix}  – e\begin{vmatrix}b & c & d\\j & k & l\\ n & o & p \end{vmatrix}+i\begin{vmatrix}b & c & d \\f & g & h\\n & o & p\end{vmatrix}-m\begin{vmatrix}b & c & d\\ f & g & h\\j & k & l\end {vmatrix}\)

Määritä sitten yksinkertaisesti determinantti 3×3 käyttämällä yllä olevaa kaavaa 3×3.

Esimerkki:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
1 & 8 & 7 & 2\\2 & 4 & 3 &8 \\1 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 9 & 6
\end{vmatrix} \\
\)?

Ratkaisu:

\(det⁡ A= 1\begin{vmatrix}4 & 3  & 8\\4 & 3 & 2\\4 & 9 & 6\end{vmatrix}  – 2\begin{vmatrix}8 & 7 & 2\\ 4 & 3 & 2\\ 4 & 9 & 6\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}8 & 7 & 2 \\4 & 3 & 8\\4 & 9 & 6\end{vmatrix}-1 \begin{vmatrix}8 & 7 & 2\\4 & 3 & 8\\4 & 3 & 2\end {vmatrix}\)

\(det⁡ A=1( 4\begin{vmatrix}
3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix}  – 3\begin{vmatrix}4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end {vmatrix}) -2( 8\begin{vmatrix}
3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix}  – 7\begin{vmatrix}4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end {vmatrix}) +1( 8\begin{vmatrix}3 & 8 \\9 & 6\end{vmatrix}  – 7\begin{vmatrix}4 & 8 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin {vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) -1( 8\begin{vmatrix}
3 & 8 \\3 & 2\end{vmatrix}  – 7\begin{vmatrix}4 & 8 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 3\end {vmatrix})\)

\(det⁡ A = 1[4(18-18)-3(24-8)+ 8(36-12)]-2[8(18-18)-7(24-8)+ 2(36- 12)]+ 1[8(18-72)-7(24-32)+2(36-12)] -1[8(6-24)-7(8-32)+ 2(12-12) ]\)

\(det⁡ A = 1[4(0)-3(16)+ 8(24)]-2[8(0)-7(16)+ 2(24)]+ 1[8(-54)- 7(-8)+ 2(24)]-1[8(-18)-7(-24)+ 2(0)]\)

\(det⁡ A = 1[0-48+192]-2[0-112+48]+ 1[ -432+56+48]-1[-144+168+0]\)

\(det⁡ A = 1[144]-2[-64]+ 1[-328]-1[24]\)

\(det⁡ A = 144+128-328-24\)

\(det⁡ A = -80\)

5×5 matriisikertolaskuille:

Matriisin A laskemista varten = (aij)5×5 kolonnin laajennuksesta määritetään seuraavalla kaavalla:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c & d & e\\f & g & h & i & j\\k & l & m & n & o \\ p & q & r & s & t \\ u & v & w & x & y
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix}
g & h  & i & j\\l & m & n & o\\q & r & s & t\\v & w & x & y\end{vmatrix}  – f\begin{vmatrix}b & c & d & e\\l & m & n & o\\ q & r & s & t\\ v & w & x & y\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}b & c & d & e \ \g & h & i & j\\q & r & s & t\\v & w & x & y\end{vmatrix}-p\begin{vmatrix}b & c & d & e\\g & h & i & j\\l & m & n & o\\q & r & s & t\end {vmatrix}\)

Other languages: Determinant Calculator, Determinant Hesaplama, Kalkulator Wyznacznika Macierzy, Kalkulator Penentu Matriks, Determinanten Rechner, 行列式 計算, 행렬식 계산기, Determinant Kalkulačka, Calculadora De Determinantes, Calcul Déterminant Matrice, Calculadora De Determinantes, Calcolo Determinante, Калькулятор Определителя, حساب محدد, Determinantberegner.