Výpočet Trojúhelníku

Kalkulačka trojúhelníku pomáhá snadno určit neznámé úhly, délky stran, medián a mnoho dalšího, díky čemuž je řešení problémů s trigonometrií bezproblémové.

Fakta o trojúhelníku:

• Trojúhelník nemůže mít více než jeden vrchol (bod, ve kterém se setkávají dva nebo více úseček, hran nebo křivek) s vnitřním úhlem větším než 90 stupňů
• Součet vnitřních úhlů je vždy roven 180 stupňům
• Součet dvou vnitřních trojúhelníků se rovná vnějším úhlům trojúhelníku
• V závislosti na vnitřních úhlech a délce stran máme šest typů trojúhelníků, jako je pravoúhlý trojúhelník, akutní úhlový trojúhelník, tupý úhlový trojúhelník, rovnoramenný trojúhelník, škálovaný trojúhelník, rovnostranný trojúhelník atd.

Jak vypočítat výšku a plochu trojúhelníku?

Výška trojúhelníku:

Rovnice, která se používá k nalezení výšky trojúhelníku, je následující:

\(\ h=\ 2(\dfrac{A}{b})\)

Kde

• A představuje oblast
• b je délka základny

Oblast trojúhelníku:

Vypočítejte obsah trojúhelníku pomocí následujícího vzorce:

\(\ Oblast =\dfrac{1}{2}bh\)

Kde

• b je základ
• h je výška trojúhelníku

Existuje další způsob, jak vypočítat obsah trojúhelníku a je známý jako Heronův vzorec. K nalezení oblasti používá strany trojúhelníku. Podívejme se na to!

\(\ s=\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(\ Heron’s\ Formula=\ area=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

Jak zjistíte strany a úhly trojúhelníku?

Trojúhelníky jsou mnohoúhelníky se třemi vrcholy.

Pomocí Pythagorovy věty, sinusového a kosinového zákona můžete najít strany a úhly trojúhelníků.

Sinusový zákon:

Pomocí sinusového zákona můžete snadno najít jakoukoli stranu trojúhelníku nebo chybějící úhel trojúhelníku bez jakýchkoli překážek.

\(\frac{a}{sin\left(A\right)} = \frac{b}{sin\left(B\right)} = \frac{c}{sin\left(C\right)}\ )

Pokud jsou dány úhly trojúhelníku a přepona, pak použijte zákon sinů k získání délky stran pravoúhlého trojúhelníku takto:

a = c × sin(α) nebo a = c × cos(β)

b = c × sin(β) nebo b = c × cos(α)

Pythagorova věta:

Pokud jsou známy jakékoli dvě strany pravoúhlého trojúhelníku, můžete snadno najít třetí stranu pomocí této věty, která říká:

\(\ a^{2}+b^{2} =\ c^{2}\)

Pokud znáte některou ze dvou stran pravoúhlého trojúhelníku, jednoduše použijte Pythagorovu větu.

Když chybí strana a, transformujte rovnici takto:

\(\ a =\sqrt{\ c^{2}-b^{2}}\)

Chcete-li najít přeponu c:

\(\ c =\sqrt{\ a^{2}+b^{2}}\)

Zákon kosinů:

Zákon kosinů říká:

\(\ a^{2} =\ c^{2} + \ b^{2} -\ 2bc\ cos A\), řešení pro cos A,  \(\cos A =\dfrac{\ b^{2 }+c^{2} – a^{2}}{2bc}\)

\(\ b^{2} =\ a^{2} + \ c^{2} -\ 2ca\ cos B\), řešení pro cos B,  \(\cos B =\dfrac{c^{2} +\ a^{2}-b^{2}}{2ca}\)

\(\ c^{2} =\ b^{2} + \ a^{2} -\ 2ab\ cos C\),   řešení pro cos C, \(\cos C =\dfrac{a^{2} +\ b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Najděte chybějící strany trojúhelníku pomocí goniometrických funkcí:

Pokud je dán jeden úhel trojúhelníku a jedna strana:

a = b × tan(α)

b = a × tan(β)

Pokud je dána plocha trojúhelníku a jedna strana trojúhelníku:

\(\ oblast =\dfrac{a\times\ b}{2}\)

Když je zadán obsah pravoúhlého trojúhelníku a délka strany a, rovnice bude následující:

\(\ b =\dfrac{2\ \times\ plocha}{a}\)

\(\ c =\sqrt{a^{2}+(\dfrac{2\times\ area}{a})^{2} }\)

Jak vypočítat Inradius a Circumradius?

Inradius:

Je to poloměr vepsané kružnice. Obecně je to kruh, který se vejde dovnitř trojúhelníku a je kolmý na každou stranu mnohoúhelníku.

Pro výpočet poloměru trojúhelníku použijte níže uvedený vzorec:

\(\ r=\dfrac{Plocha}{semiperimetr}\)

Circumradius:

Jak název napovídá, jedná se o poloměr kružnice opsané. Je to minimální velikost kruhu, který se vejde dovnitř trojúhelníku.

Podívejme se na následující vzorec, který se používá k výpočtu cirkumradiusu trojúhelníku:

\(\ R=\dfrac{a}{2sin(a)}\)

Příklad:

Předpovězte trojúhelník spolu s jeho členy s následujícími uvedenými informacemi:

\(\ a = 2\)
\(\ m∠A = 60^{o}\)
\(\ m∠B = 20^{o}\)

Řešení:

Protože máme dva úhly a jednu stranu, začněme!

Krok č. 01 (Najít úhel trojúhelníku):

\(\ m∠C = 180° – A – B\)

\(\ m∠C = 180^{o} – 60^{o} – 20^{o}\)

\(\ m∠C = 100^{o}\)

Nyní převeďte všechny úhly na radiány následovně:

\(\ m∠A = 60^{o}\times \frac{π}{180}\)

\(\ m∠A = 60^{o}\krát \frac{3,14}{180}\)

\(\ m∠A = \frac{188,4}{180}\)

\(\ m∠A = 1,0472\ rad\)

Podobně:

\(\ m∠B = 20^{o}\times \frac{π}{180}\)

\(\ m∠B = 20^{o}\times \frac{3,14}{180}\)

\(\ m∠B = \frac{62,8}{180}\)

\(\ m∠B = 0,34907 rad\)

Rovněž:

\(\ m∠C = 100^{o}\krát \frac{π}{180}\)

\(\ m∠C = 100^{o}\krát \frac{3,14}{180}\)

\(\ m∠C = \frac{314}{180}\)

\(\ m∠C = 1,74533\ rad\)

Krok # 02 (Jak najít stranu trojúhelníku?):

Protože máme pouze jednu stranu, musíme najít délku stran trojúhelníku. Vypočítejte strany trojúhelníku takto:

\(\ b = \frac{a\times sin(B)}{sin(A)}\)

\(\ b = \frac{2 \times sin(0,34907)}{sin(1,0472)}\)

\(\ b = 0,78986\)

Podobně máme:

\(\ c = \frac{a\times sin(C)}{sin(A)}\)

\(\ c = \frac{2 \times sin(1,74533)}{sin(1,0472)}\)

\(\ c = 2,27432\)

Takto můžete najít chybějící stranu trojúhelníku, ale neznámé strany trojúhelníku můžete snadno zobrazit pomocí kalkulačky.

Krok č. 03 (Výpočet oblasti trojúhelníku):

\(\ A = \frac{ab.sin(C)}{2}\)

\(\ A = \frac{2\times0.78986.sin(1.74533)}{2}\)

\(\ A = 0,77786\)

Krok č. 04 (Výpočet obvodu a semiperimetru):

\(\ Obvod=\ p = a + b + c\)

\(\ Obvod=\ p = 2 + 0,78986 + 2,27432\)

\(\ Obvod=\ p = 5,06418\)

Podobně:

\(\ Semiperimeter=\ s = \frac{a + b + c}{2}\)

\(\ Semiperimeter=\ s = \frac{2 + 0,78986 + 2,27432}{2}\)

\(\ Semiperimeter=\ s = 2,53209\)

Krok # 05 (Výpočet výšek stran trojúhelníku):

Můžeme určit výšku každé strany, jak je uvedeno níže:

\(\ Výška=\ h_{a}=\frac{2 \times { Area}}{a}\)

\(\ Výška=\ h_{a}=\frac{2 \times 0,77786}{2}\)

\(\ Výška=\ h_{a} = 0,77786\)

Nyní máme:

\(\ Výška=\ h_{b}=\frac{2 \times { Area}}{b}\)

\(\ Výška=\ h_{b}=\frac{2 \krát 0,77786}{0,78986} = 1,96961\)

\(\ Výška=\ h_{b} = 1,96961\)

Podobně:

\(\ Výška=\ h_{c}=\frac{2 \times { Area}}{c}\)

\(\ Výška=\ h_{c}=\frac{2 \times 0,77786}{2,27432} =\)

\(\ Výška=\ h_{c} = 0,68404\)

Krok č. 06 (určení mediánů každé strany):

\(\ Medián=\ m_{a}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + c^2 – ac.cos(B)}\)

\(\ Medián=\ m_{a}=\sqrt{(\frac{2}{2})^2 + 2,27432^2 – 2\times2.27432.cos(0,34907)} = 1,37775\)

Podobně:

\(\ Medián=\ m_{b}=\sqrt{(\frac{b}{2})^2 + a^2 – ab.cos(C)}\)

\(\ Medián=\ m_{b}=\sqrt{(\frac{0.78986}{2})^2 + 2^2 – 2\times0.78986.cos(1.74533)}\)

\(\ Medián=\ m_{b} = 2,10482\)

Nyní máme:

\(\ Medián=\ m_{c}=\sqrt{(\frac{c}{2})^2 + b^2 – bc.cos(A)}\)

\(\ Medián=\ m_{c}=\sqrt{(\frac{2.27432}{2})^2 + 0.78986^2 – 0.78986\times2.27432.cos(1.0472)}\)

\(\ Medián=\ m_{c} = 1,00936\)

Krok # 07 (Hledání Inradius):

\(\ Inradius=\ r=\frac{area}{s}\)

\(\ Inradius=\ r=\frac{0.77786}{2.53209}\)

\(\ Inradius\ r=0,3072\)

Krok # 08 (Nalezení Circumradius):

\(\ Circumradius\ R=\frac{a}{2.sin(A)}\)

\(\ Circumradius\ R=\frac{2}{2 \times sin(1,0472)}\)

\(\ Circumradius\ je\ 1,1547\)

Other Languages: Triangle Calculator, Calculer Triangle, Dreieck Rechner, Kalkulator Segitiga, Kalkulator Trójkata, Калькулятор Треугольника, Calcular Triangulo, Üçgen Hesaplama, Calculadora De Triangulos