Üçgen Hesaplama

Üçgen hesaplayıcı, bilinmeyen açıları, kenar uzunluklarını, medyanı ve çok daha fazlasını kolaylıkla belirlemeye yardımcı olur ve trigonometri problemini çözmeyi kusursuz bir deneyim haline getirir.

Üçgen Gerçekleri:

• Bir üçgenin iç açısı 90 dereceden büyük olan birden fazla tepe noktası (iki veya daha fazla çizgi parçasının veya kenarın veya eğrinin buluştuğu bir nokta) olamaz
• İç açıların toplamı her zaman 180 dereceye eşittir
• İki iç üçgenin toplamı üçgenin dış açılarına eşittir
• İç açılarına ve kenar uzunluklarına bağlı olarak, dik Açılı Üçgen, Dar Açılı Üçgen, Geniş Açılı Üçgen, İkizkenar Üçgen, Çeşitkenar Üçgen, eşkenar üçgen vb. olmak üzere altı tür üçgenimiz vardır.

Üçgenin Yüksekliği ve Alanı Nasıl Hesaplanır?

Üçgenin Yüksekliği:

Üçgenin yüksekliğini bulmak için kullanılan denklem aşağıdaki gibidir:

\(\ h=\ 2(\dfrac{A}{b})\)

Nerede

• A alanı temsil eder
• b tabanın uzunluğu

Üçgenin Alanı:

Aşağıdaki formülü kullanarak üçgenin alanını hesaplayın:

\(\ Alan =\dfrac{1}{2}bh\)

Nerede

• b tabandır
• h üçgenin yüksekliğidir

Üçgenin alanını hesaplamanın başka bir yolu daha vardır ve buna Heron formülü denir. Alanı bulmak için üçgenin kenarlarını kullanır. Hadi bir bakalım!

\(\ s=\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(\ Balıkçıl\ Formül=\ alan=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

Bir Üçgenin Kenarlarını ve Açılarını Nasıl Bulursunuz?

Üçgenler üç köşesi olan çokgenlerdir.

Pisagor teoremini, Sinüs Yasasını ve Kosinüs Yasasını kullanarak üçgenlerin kenarlarını ve açılarını bulabilirsiniz.

Sinüs Yasası:

Sinüs yasasını kullanarak bir üçgenin herhangi bir kenarını veya eksik açısını hiçbir engel olmadan kolayca bulabilirsiniz.

\(\frac{a}{sin\left(A\right)} = \frac{b}{sin\left(B\right)} = \frac{c}{sin\left(C\right)}\ )

Üçgenin açıları ve hipotenüs verilmişse, sinüs yasasını kullanarak dik üçgenin kenar uzunluklarını aşağıdaki gibi elde edin:

a = c × sin(α) veya a = c × cos(β)

b = c × sin(β) veya b = c × cos(α)

Pisagor teoremi:

Bir dik üçgenin herhangi iki tarafı biliniyorsa, üçüncü tarafı aşağıdaki teoremin yardımıyla kolayca bulabilirsiniz:

\(\ a^{2}+b^{2} =\ c^{2}\)

Dik üçgenin iki kenarından herhangi birini biliyorsanız, Pisagor teoremini kullanmanız yeterlidir.

A tarafı eksik olduğunda denklemi şu şekilde dönüştürün:

\(\ a =\sqrt{\ c^{2}-b^{2}}\)

Hipotenüs c’yi bulmak için:

\(\ c =\sqrt{\ a^{2}+b^{2}}\)

Kosinüs Yasası:

Kosinüs kanunu şunu belirtir:

\(\ a^{2} =\ c^{2} + \ b^{2} -\ 2bc\ cos A\), cos A’yı çözme,  \(\cos A =\dfrac{\ b^{2 }+c^{2} – a^{2}}{2bc}\)

\(\ b^{2} =\ a^{2} + \ c^{2} -\ 2ca\ cos B\), cos B’yi çözme,  \(\cos B =\dfrac{c^{2} +\ a^{2}-b^{2}}{2ca}\)

\(\ c^{2} =\ b^{2} + \ a^{2} -\ 2ab\ cos C\),   cos C’yi çözme, \(\cos C =\dfrac{a^{2} +\ b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Trigonometrik Fonksiyonları Kullanarak Bir Üçgenin Eksik Taraflarını Bulun:

Bir üçgenin açısı ve bir kenarı verilirse:

a = b × ten rengi(α)

b = a × tan(β)

Üçgenin alanı ve üçgenin bir kenarı verilirse:

\(\ alan =\dfrac{a\times\ b}{2}\)

Dik üçgenin alanı ve a kenarının uzunluğu verildiğinde denklem aşağıdaki gibi olacaktır:

\(\ b =\dfrac{2\ \times\ alan}{a}\)

\(\ c =\sqrt{a^{2}+(\dfrac{2\times\ alan}{a})^{2} }\)

Inradius ve Circumradius Nasıl Hesaplanır?

Yarıçap:

Yazılı dairenin yarıçapıdır. Genel olarak üçgenin içine sığabilen ve çokgenin her iki kenarına dik olan dairedir.

Bir üçgenin yarıçapını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

\(\ r=\dfrac{Alan}{yarıçevre}\)

Çevre yarıçapı:

Adından da anlaşılacağı gibi, çevrelenen dairenin yarıçapıdır. Üçgenin içine sığabilecek dairenin minimum boyutudur.

Üçgenin çevre yarıçapını hesaplamak için kullanılan aşağıdaki formülü görelim:

\(\ R=\dfrac{a}{2sin(a)}\)

Örnek:

Aşağıdaki verilen bilgilere göre bir üçgeni terimleriyle birlikte tahmin edin:

• \(\ a = 2\)
• \(\ m∠A = 60^{o}\)
• \(\ m∠B = 20^{o}\)

Çözüm:

Bize iki açı ve bir kenar verildiğine göre başlayalım!

Adım #01 (Üçgenin Açısını Bulma):

\(\ m∠C = 180° – A – B\)

\(\ m∠C = 180^{o} – 60^{o} – 20^{o}\)

\(\ m∠C = 100^{o}\)

Şimdi tüm açıları aşağıdaki gibi radyana dönüştürüyoruz:

\(\ m∠A = 60^{o}\times \frac{π}{180}\)

\(\ m∠A = 60^{o}\times \frac{3,14}{180}\)

\(\ m∠A = \frac{188,4}{180}\)

\(\ m∠A = 1,0472\ rad\)

Benzer şekilde:

\(\ m∠B = 20^{o}\times \frac{π}{180}\)

\(\ m∠B = 20^{o}\times \frac{3,14}{180}\)

\(\ m∠B = \frac{62,8}{180}\)

\(\ m∠B = 0,34907 rad\)

Aynı şekilde:

\(\ m∠C = 100^{o}\times \frac{π}{180}\)

\(\ m∠C = 100^{o}\times \frac{3,14}{180}\)

\(\ m∠C = \frac{314}{180}\)

\(\ m∠C = 1,74533\ rad\)

Adım #02 (Üçgenin Kenarı Nasıl Bulunur?):

Bize sadece bir kenar verildiği için üçgenin kenarlarının uzunluğunu bulmamız gerekiyor. Üçgenin kenarlarını aşağıdaki gibi hesaplayın:

\(\ b = \frac{a\times sin(B)}{sin(A)}\)

\(\ b = \frac{2 \times sin(0,34907)}{sin(1,0472)}\)

\(\ b = 0,78986\)

Benzer şekilde elimizde:

\(\ c = \frac{a\times sin(C)}{sin(A)}\)

\(\ c = \frac{2 \times sin(1.74533)}{sin(1.0472)}\)

\(\ c = 2,27432\)

Bu şekilde bir üçgenin eksik tarafını bulabilir, ancak üçgenin bilinmeyen kenarlarını da hesap makinesi yardımıyla kolayca çizebilirsiniz.

Adım #03 (Üçgenin Alanının Hesaplanması):

\(\ A = \frac{ab.sin(C)}{2}\)

\(\ A = \frac{2\times0.78986.sin(1.74533)}{2}\)

\(\ A = 0,77786\)

Adım #04 (Çevre ve Yarı Çevre Hesaplama):

\(\ Çevre=\ p = a + b + c\)

\(\ Çevre=\ p = 2 + 0,78986 + 2,27432\)

\(\ Çevre=\ p = 5,06418\)

Benzer şekilde:

\(\ Yarıçevre=\ s = \frac{a + b + c}{2}\)

\(\ Yarıçevre=\ s = \frac{2 + 0,78986 + 2,27432}{2}\)

\(\ Yarıçevre=\ s = 2,53209\)

Adım #05 (Üçgenin Kenar Yüksekliklerinin Hesaplanması):

Her bir tarafın yüksekliğini aşağıda verildiği gibi belirleyebiliriz:

\(\ Yükseklik=\ h_{a}=\frac{2 \times { Alan}}{a}\)

\(\ Yükseklik=\ h_{a}=\frac{2 \times 0,77786}{2}\)

\(\ Yükseklik=\ h_{a} = 0,77786\)

Artık elimizde:

\(\ Yükseklik=\ h_{b}=\frac{2 \times { Alan}}{b}\)

\(\ Yükseklik=\ h_{b}=\frac{2 \times 0,77786}{0,78986} = 1,96961\)

\(\ Yükseklik=\ h_{b} = 1,96961\)

Benzer şekilde:

\(\ Yükseklik=\ h_{c}=\frac{2 \times { Alan}}{c}\)

\(\ Yükseklik=\ h_{c}=\frac{2 \times 0,77786}{2,27432} =\)

\(\ Yükseklik=\ h_{c} = 0,68404\)

Adım #06 (Her Tarafın Ortancalarının Belirlenmesi):

\(\ Medyan=\ m_{a}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + c^2 – ac.cos(B)}\)

\(\ Medyan=\ m_{a}=\sqrt{(\frac{2}{2})^2 + 2,27432^2 – 2\times2.27432.cos(0,34907)} = 1,37775\)

Benzer şekilde:

\(\ Medyan=\ m_{b}=\sqrt{(\frac{b}{2})^2 + a^2 – ab.cos(C)}\)

\(\ Medyan=\ m_{b}=\sqrt{(\frac{0.78986}{2})^2 + 2^2 – 2\times0.78986.cos(1.74533)}\)

\(\ Medyan=\ m_{b} = 2,10482\)

Artık elimizde:

\(\ Medyan=\ m_{c}=\sqrt{(\frac{c}{2})^2 + b^2 – bc.cos(A)}\)

\(\ Medyan=\ m_{c}=\sqrt{(\frac{2.27432}{2})^2 + 0.78986^2 – 0.78986\times2.27432.cos(1.0472)}\)

\(\ Medyan=\ m_{c} = 1,00936\)

Adım #07 (Inradius’u Bulma):

\(\ Inradius=\ r=\frac{alan}{s}\)

\(\ Inradius=\ r=\frac{0.77786}{2.53209}\)

\(\ Inradius\ r=0,3072\)

Adım #08 (Çevre Yarıçapını Bulma):

\(\ Circumradius\ R=\frac{a}{2.sin(A)}\)

\(\ Circumradius\ R=\frac{2}{2 \times sin(1.0472)}\)

\(\ Çevre Yarıçapı\,\ 1,1547\’dir)

Other Languages: Triangle Calculator, Výpočet Trojúhelníku, Calculer Triangle, Dreieck Rechner, Kalkulator Segitiga, Kalkulator Trójkata, Калькулятор Треугольника, Calcular Triangulo, Calculadora De Triangulos