Kalkulator Trójkata

Der Dreiecksrechner hilft dabei, unbekannte Winkel, Seitenlängen, den Median und vieles mehr mühelos zu bestimmen, sodass die Lösung von Trigonometrieproblemen zu einem nahtlosen Erlebnis wird.

Fakten zum Dreieck:

• Ein Dreieck kann nicht mehr als einen Scheitelpunkt (einen Punkt, an dem sich zwei oder mehr Liniensegmente, Kanten oder Kurven treffen) mit einem Innenwinkel von mehr als 90 Grad haben
• Die Summe der Innenwinkel beträgt immer 180 Grad
• Die Summe der beiden inneren Dreiecke ist gleich den Außenwinkeln des Dreiecks
• Abhängig von den Innenwinkeln und der Länge der Seiten gibt es sechs Arten von Dreiecken: rechtwinkliges Dreieck, spitzes Winkeldreieck, stumpfes Winkeldreieck, gleichschenkliges Dreieck, ungleichseitiges Dreieck usw.

Wie berechnet man die Höhe und Fläche eines Dreiecks?

Höhe des Dreiecks:

Die Gleichung, die zur Ermittlung der Höhe des Dreiecks verwendet wird, lautet wie folgt:

\(\ h=\ 2(\dfrac{A}{b})\)

Wo

• A stellt die Fläche dar
• b ist die Länge der Basis

Fläche des Dreiecks:

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks mit der folgenden Formel:

\(\ Fläche =\dfrac{1}{2}bh\)

Wo

• b ist die Basis
• h ist die Höhe des Dreiecks

Es gibt eine andere Möglichkeit, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, und sie ist als Heron-Formel bekannt. Es verwendet die Seiten des Dreiecks, um die Fläche zu ermitteln. Lass uns einen Blick darauf werfen!

\(\ s=\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(\ Heron's\ Formel=\ Fläche=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

Wie findet man die Seiten und Winkel eines Dreiecks?

Dreiecke sind Polygone mit drei Eckpunkten.

Mit dem Satz des Pythagoras, dem Sinusgesetz und dem Kosinusgesetz können Sie die Seiten und Winkel der Dreiecke ermitteln.

Das Sinusgesetz:

Mithilfe des Sinusgesetzes können Sie problemlos jede Seite eines Dreiecks oder den fehlenden Winkel eines Dreiecks finden.

\(\frac{a}{sin\left(A\right)} = \frac{b}{sin\left(B\right)} = \frac{c}{sin\left(C\right)}\)

Wenn die Dreieckswinkel und die Hypotenuse gegeben sind, dann verwenden Sie den Sinussatz, um die Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks wie folgt zu erhalten:

a = c × sin(α) oder a = c × cos(β)

b = c × sin(β) oder b = c × cos(α)

Satz des Pythagoras:

Wenn zwei beliebige Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind, können Sie die dritte Seite leicht mit Hilfe dieses Satzes ermitteln, der besagt:

\(\ a^{2}+b^{2} =\ c^{2}\)

Wenn Sie eine der beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks kennen, verwenden Sie einfach den Satz des Pythagoras. Wenn Seite a fehlt, transformieren Sie die Gleichung wie folgt:

\(\ a =\sqrt{\ c^{2}-b^{2}}\)

So finden Sie für Hypotenuse c:

\(\ c =\sqrt{\ a^{2}+b^{2}}\)

Kosinusgesetz:

Das Kosinusgesetz besagt:

\(\ a^{2} =\ c^{2} + \ b^{2} -\ 2bc\ cos A\), auflösen nach cos A,  \(\cos A =\dfrac{\ b^{2 }+c^{2} - a^{2}}{2bc}\)

\(\ b^{2} =\ a^{2} + \ c^{2} -\ 2ca\ cos B\), auflösen nach cos B,  \(\cos B =\dfrac{c^{2} +\ a^{2}-b^{2}}{2ca}\)

\(\ c^{2} =\ b^{2} + \ a^{2} -\ 2ab\ cos C\),   Auflösen nach cos C, \(\cos C =\dfrac{a^{2} +\ b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Finden Sie die fehlenden Seiten eines Dreiecks mithilfe trigonometrischer Funktionen: Wenn ein Dreieckswinkel und eine Seite gegeben sind: a = b × tan(α) b = a × tan(β) Wenn die Dreiecksfläche und eine Seite des Dreiecks gegeben sind:

\(\ Fläche =\dfrac{a\times\ b}{2}\)

Wenn die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks und die Länge der Seite a angegeben sind, lautet die Gleichung wie folgt:

\(\ b =\dfrac{2\ \times\ Fläche}{a}\)

\(\ c =\sqrt{a^{2}+(\dfrac{2\times\ Fläche}{a})^{2} }\)

Wie berechnet man den Inradius und den Zirkumradius?

Inradius:

Es ist der Radius des eingeschriebenen Kreises. Im Allgemeinen ist es der Kreis, der in das Dreieck passt und senkrecht zu jeder Seite des Polygons steht.

Verwenden Sie die unten stehende Formel, um den Innenradius eines Dreiecks zu berechnen:

\(\ r=\dfrac{Fläche}{Halbumfang}\)

Umkreisradius:

Wie der Name schon sagt, ist es der Radius des umschriebenen Kreises. Dies ist die Mindestgröße des Kreises, der in das Dreieck passt.

Sehen wir uns die folgende Formel an, die zur Berechnung des Umkreisradius des Dreiecks verwendet wird:

\(\ R=\dfrac{a}{2sin(a)}\)

Beispiel:

Sagen Sie ein Dreieck zusammen mit seinen Termen mit den folgenden gegebenen Informationen voraus:

• \(\ a = 2\)
• \(\ m∠A = 60^{o}\)
• \(\ m∠B = 20^{o}\)

Lösung:

Da uns zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, fangen wir an!

Schritt Nr. 01 (Dreieckswinkel ermitteln):

\(\ m∠C = 180° - A - B\) \(\ m∠C = 180^{o} - 60^{o} - 20^{o}\)

\(\ m∠C = 100^{o}\)

Nun wandeln wir alle Winkel wie folgt in Bogenmaß um:

\(\ m∠A = 60^{o}\times \frac{π}{180}\)

\(\ m∠A = 60^{o}\times \frac{3.14}{180}\)

\(\ m∠A = \frac{188,4}{180}\)

\(\ m∠A = 1,0472\ rad\)

Ähnlich:

\(\ m∠B = 20^{o}\times \frac{π}{180}\)

\(\ m∠B = 20^{o}\times \frac{3.14}{180}\)

\(\ m∠B = \frac{62,8}{180}\)

\(\ m∠B = 0,34907 rad\)

Ebenfalls:

\(\ m∠C = 100^{o}\times \frac{π}{180}\)

\(\ m∠C = 100^{o}\times \frac{3.14}{180}\)

\(\ m∠C = \frac{314}{180}\)

\(\ m∠C = 1,74533\ rad\)

Schritt Nr. 02 (Wie finde ich die Seite eines Dreiecks?):

Da uns nur eine Seite gegeben ist, müssen wir die Länge der Dreiecksseiten ermitteln. Berechnen Sie die Dreiecksseiten wie folgt:

\(\ b = \frac{a\times sin(B)}{sin(A)}\)

\(\ b = \frac{2 \times sin(0,34907)}{sin(1,0472)}\)

\(\ b = 0,78986\)

Ebenso haben wir:

\(\ c = \frac{a\times sin(C)}{sin(A)}\)

\(\ c = \frac{2 \times sin(1,74533)}{sin(1,0472)}\)

\(\ c = 2,27432\)

So können Sie die fehlende Seite eines Dreiecks finden, die unbekannten Seiten des Dreiecks können Sie jedoch mit Hilfe des Taschenrechners leicht darstellen.

Schritt Nr. 03 (Berechnung der Dreiecksfläche):

\(\ A = \frac{ab.sin(C)}{2}\)

\(\ A = \frac{2\times0.78986.sin(1.74533)}{2}\)

\(\ A = 0,77786\)

Schritt Nr. 04 (Berechnung von Umfang und Halbumfang):

\(\ Umfang=\ p = a + b + c\)

\(\ Umfang=\ p = 2 + 0,78986 + 2,27432\)

\(\ Umfang=\ p = 5,06418\)

Ähnlich:

\(\ Semiperimeter=\ s = \frac{a + b + c}{2}\)

\(\ Semiperimeter=\ s = \frac{2 + 0,78986 + 2,27432}{2}\)

\(\ Semiperimeter=\ s = 2,53209\)

Schritt Nr. 05 (Berechnung der Höhen der Dreiecksseiten):

Wir können die Höhe jeder Seite wie folgt bestimmen:

\(\ Höhe=\ h_{a}=\frac{2 \times { Fläche}}{a}\)

\(\ Höhe=\ h_{a}=\frac{2 \times 0,77786}{2}\)

\(\ Höhe=\ h_{a} = 0,77786\)

Jetzt haben wir:

\(\ Höhe=\ h_{b}=\frac{2 \times { Fläche}}{b}\)

\(\ Höhe=\ h_{b}=\frac{2 \times 0,77786}{0,78986} = 1,96961\)

\(\ Höhe=\ h_{b} = 1,96961\)

Ähnlich:

\(\ Höhe=\ h_{c}=\frac{2 \times { Fläche}}{c}\)

\(\ Höhe=\ h_{c}=\frac{2 \times 0,77786}{2,27432} =\)

\(\ Höhe=\ h_{c} = 0,68404\)

Schritt Nr. 06 (Bestimmen der Mediane jeder Seite):

\(\ Median=\ m_{a}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + c^2 - ac.cos(B)}\)

\(\ Median=\ m_{a}=\sqrt{(\frac{2}{2})^2 + 2,27432^2 - 2\times2,27432.cos(0,34907)} = 1,37775\)

Ähnlich:

\(\ Median=\ m_{b}=\sqrt{(\frac{b}{2})^2 + a^2 - ab.cos(C)}\)

\(\ Median=\ m_{b}=\sqrt{(\frac{0,78986}{2})^2 + 2^2 - 2\times0,78986.cos(1,74533)}\)

\(\ Median=\ m_{b} = 2,10482\) Jetzt haben wir:

\(\ Median=\ m_{c}=\sqrt{(\frac{c}{2})^2 + b^2 - bc.cos(A)}\)

\(\ Median=\ m_{c}=\sqrt{(\frac{2,27432}{2})^2 + 0,78986^2 - 0,78986\times2,27432.cos(1,0472)}\)

\(\ Median=\ m_{c} = 1,00936\)

Schritt Nr. 07 (Inradius finden):

\(\ Inradius=\ r=\frac{Fläche}{s}\)

\(\ Inradius=\ r=\frac{0,77786}{2,53209}\)

\(\ Inradius\ r=0,3072\)

Schritt Nr. 08 (Zirkumradius finden):

\(\ Zirkumradius\ R=\frac{a}{2.sin(A)}\)

\(\ Zirkumradius\ R=\frac{2}{2 \times sin(1,0472)}\)

\(\ Zirkumradius\ ist\ 1,1547\)  

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