Калькулятор Треугольника

Калькулятор треугольников помогает с легкостью определять неизвестные углы, длины сторон, медиану и многое другое, что упрощает решение задач по тригонометрии.

Факты о треугольнике:

• Треугольник не может иметь более одной вершины (точки, в которой встречаются два или более отрезков, ребер или кривых) с внутренним углом более 90 градусов.
• Сумма внутренних углов всегда равна 180 градусов.
• Сумма двух внутренних треугольников равна внешним углам треугольника.
• В зависимости от внутренних углов и длины сторон у нас есть шесть типов треугольников:прямоугольный треугольник, остроугольный треугольник, тупоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, разносторонний треугольник, равносторонний треугольник и т. д.

Как вычислить высоту и площадь треугольника?

Высота треугольника:

Уравнение, которое используется для нахождения высоты треугольника, выглядит следующим образом:

\(\ h=\ 2(\dfrac{A}{b})\)

Где

• А представляет собой площадь
• b — длина основания

Площадь треугольника:

Вычислите площадь треугольника по следующей формуле:

\(\ Area =\dfrac{1}{2}bh\)

Где

• б — основа
• h - высота треугольника

Есть еще один способ вычисления площади треугольника, известный как формула Герона. Для нахождения площади используются стороны треугольника. Давайте взглянем!

\(\ s=\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(\ Формула Герона=\ area=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

Как найти стороны и углы треугольника?

Треугольники – это многоугольники, имеющие три вершины.

Используя теорему Пифагора, закон синусов и закон косинусов, можно найти стороны и углы треугольников.

Закон Синуса:

Используя закон синуса, вы можете легко найти любую сторону треугольника или недостающий угол треугольника без каких-либо препятствий.

\(\frac{a}{sin\left(A\right)} = \frac{b}{sin\left(B\right)} = \frac{c}{sin\left(C\right)}\)

Если углы треугольника и гипотенуза заданы, то, используя закон синусов, найдите длины сторон прямоугольного треугольника следующим образом:

a = c × sin(α) или a = c × cos(β)

b = c × sin(β) или b = c × cos(α)

Теорема Пифагора:

Если известны любые две стороны прямоугольного треугольника, вы можете легко найти третью сторону с помощью этой теоремы, которая гласит:

\(\ a^{2}+b^{2} =\ c^{2}\)

Если вы знаете любую из двух сторон прямоугольного треугольника, просто воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Если сторона a отсутствует, преобразуйте уравнение следующим образом:

\(\ a =\sqrt{\ c^{2}-b^{2}}\)

Чтобы найти гипотенузу c:

\(\ c =\sqrt{\ a^{2}+b^{2}}\)

Закон косинусов:

Закон косинусов гласит:

\(\ a^{2} =\ c^{2} + \ b^{2} -\ 2bc\ cos A\), решение для cos A,  \(\cos A =\dfrac{\ b^{2 }+c^{2} - a^{2}}{2bc}\)

\(\ b^{2} =\ a^{2} + \ c^{2} -\ 2ca\ cos B\), решение для cos B,  \(\cos B =\dfrac{c^{2} +\ a^{2}-b^{2}}{2ca}\)

\(\ c^{2} =\ b^{2} + \ a^{2} -> 2ab\ cos C\),   решение для cos C, \(\cos C =\dfrac{a^{2} +\ b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Найдите недостающие стороны треугольника с помощью тригонометрических функций:

Если даны один угол треугольника и одна сторона:

а = б × загар(α)

б = а × загар(β)

Если даны площадь треугольника и одна сторона треугольника:

\(\ area =\dfrac{a\times\ b}{2}\)

Если известны площадь прямоугольного треугольника и длина стороны а, то уравнение будет выглядеть следующим образом:

\(\ b =\dfrac{2\ \times\ area}{a}\)

\(\ c =\sqrt{a^{2}+(\dfrac{2\times\ area}{a})^{2} }\)

Как рассчитать внутренний радиус и циркумрадиус?

Инрадиус:

Это радиус вписанной окружности. В общем, это круг, который может поместиться внутри треугольника и перпендикулярен каждой стороне многоугольника. Используйте приведенную ниже формулу для расчета внутреннего радиуса треугольника:

\(\ r=\dfrac{Площадь}{полупериметр}\)

Окружной радиус:

Как следует из названия, это радиус описанной окружности. Это минимальный размер круга, который может поместиться внутри треугольника.

Давайте посмотрим на следующую формулу, которая используется для расчета радиуса описанной окружности треугольника:

\(\ R=\dfrac{a}{2sin(a)}\)

Пример:

Предскажите треугольник и его члены, используя следующую информацию:

• \(\ а = 2\)
• \(\ m∠A = 60^{o}\)
• \(\ m∠B = 20^{o}\)

Решение:

Поскольку нам даны два угла и одна сторона, приступим!

Шаг № 01 (Найти угол треугольника):

\(\ m∠C = 180° - A - B\)

\(\ m∠C = 180^{o} - 60^{o} - 20^{o}\) \(\ m∠C = 100^{o}\)

Теперь преобразуем все углы в радианы следующим образом:

\(\ m∠A = 60^{o}\times \frac{π}{180}\)

\(\ m∠A = 60^{o}\times \frac{3.14}{180}\)

\(\ m∠A = \frac{188.4}{180}\)

\(\ м∠А = 1,0472\ рад\)

Сходным образом:

\(\ m∠B = 20^{o}\times \frac{π}{180}\)

\(\ m∠B = 20^{o}\times \frac{3.14}{180}\)

\(\ m∠B = \frac{62.8}{180}\)

\(\ m∠B = 0,34907 рад\)

Так же:

\(\ m∠C = 100^{o}\times \frac{π}{180}\)

\(\ m∠C = 100^{o}\times \frac{3.14}{180}\)

\(\ m∠C = \frac{314}{180}\)

\(\ m∠C = 1,74533\рад\)

Шаг № 02 (Как найти сторону треугольника?):

Поскольку нам дана только одна сторона, нам нужно найти длины сторон треугольника. Вычислите стороны треугольника следующим образом:

\(\ b = \frac{a\times sin(B)}{sin(A)}\)

\(\ b = \frac{2 \times sin(0.34907)}{sin(1.0472)}\)

\(\ b = 0,78986\) Аналогично у нас есть:

\(\ c = \frac{a\times sin(C)}{sin(A)}\)

\(\ c = \frac{2 \times sin(1.74533)}{sin(1.0472)}\)

\(\ с = 2,27432\)

Именно так можно найти недостающую сторону треугольника, а неизвестные стороны треугольника легко изобразить с помощью калькулятора.

Шаг № 03 (Вычисление площади треугольника):

\(\ A = \frac{ab.sin(C)}{2}\)

\(\ A = \frac{2\times0.78986.sin(1.74533)}{2}\)

\(\ А = 0,77786\)

Шаг №04 (Вычисление периметра и полупериметра):

\(\ Периметр=\ p = a + b + c\)

\(\ Периметр=\ p = 2 + 0,78986 + 2,27432\)

\(\ Периметр=\ p = 5,06418\)

Сходным образом:

\(\ Semiperimeter=\ s = \frac{a + b + c}{2}\)

\(\ Semiperimeter=\ s = \frac{2 + 0,78986 + 2,27432}{2}\)

\(\ Полупериметр=\ s = 2,53209\)

Шаг №05 (Расчет высот сторон треугольника):

Мы можем определить высоту каждой стороны, как указано ниже:

\(\ Height=\ h_{a}=\frac{2 \times { Area}}{a}\)

\(\ Height=\ h_{a}=\frac{2 \times 0.77786}{2}\)

\(\ Высота=\ h_{a} = 0,77786\)

Теперь у нас есть:

\(\ Высота=\ h_{b}=\frac{2 \times { Площадь}}{b}\)

\(\ Height=\ h_{b}=\frac{2 \times 0,77786}{0,78986} = 1,96961\)

\(\ Высота=\ h_{b} = 1,96961\)

Сходным образом:

\(\ Height=\ h_{c}=\frac{2 \times { Area}}{c}\)

\(\ Height=\ h_{c}=\frac{2 \times 0.77786}{2.27432} =\)

\(\ Высота=\ h_{c} = 0,68404\)

Шаг №06 (Определение медианы каждой стороны):

\(\ Медиана=\ m_{a}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + c^2 - ac.cos(B)}\)

\(\ Медиана=\ m_{a}=\sqrt{(\frac{2}{2})^2 + 2,27432^2 - 2\times2.27432.cos(0,34907)} = 1,37775\)

Сходным образом:

\(\ Медиана=\ m_{b}=\sqrt{(\frac{b}{2})^2 + a^2 - ab.cos(C)}\)

\(\ Медиана=\ m_{b}=\sqrt{(\frac{0.78986}{2})^2 + 2^2 - 2\times0.78986.cos(1.74533)}\)

\(\ Медиана=\ m_{b} = 2,10482\)

Теперь у нас есть:

\(\ Медиана=\ m_{c}=\sqrt{(\frac{c}{2})^2 + b^2 - bc.cos(A)}\)

\(\ Медиана=\ m_{c}=\sqrt{(\frac{2.27432}{2})^2 + 0,78986^2 - 0,78986\times2.27432.cos(1.0472)}\)

\(\ Медиана=\ m_{c} = 1,00936\)

Шаг №07 (Нахождение Inradius):

\(\ Inradius=\ r=\frac{area}{s}\)

\(\ Inradius=\ r=\frac{0.77786}{2.53209}\)

\(\ Инрадиус=\ r=0,3072\)

Шаг №08 (Нахождение окружного радиуса):

\(\ Окружной радиус\ R=\frac{a}{2.sin(A)}\)

\(\ Окружной радиус\ R=\frac{2}{2 \times sin(1.0472)}\)

\(\ Окружной радиус\ равен\ 1,1547\)  

Other Languages: Triangle Calculator, Výpočet Trojúhelníku, Calculer Triangle, Dreieck Rechner, Kalkulator Segitiga, Kalkulator Trójkata, Calcular Triangulo, Üçgen Hesaplama, Calculadora De Triangulos